Question

18．已知$\frac{z-1}{z+1}$是純虛數(shù)，則|z²-z+1|的最大值是[0，3）．

Answer 1

分析 設z=x+yi（x，y∈R），代入$\frac{z-1}{z+1}$，由$\frac{z-1}{z+1}$是純虛數(shù)可得|z|=1，然后利用絕對值的不等式求得|z²-z+1|的取值范圍．

解答 解：設z=x+yi（x，y∈R），
則$\frac{z-1}{z+1}$=$\frac{x-1+yi}{x+1+yi}=\frac{（x-1+yi）（x+1-yi）}{（x+1+yi）（x+1-yi）}$=$\frac{（{x}^{2}+{y}^{2}-1）+2yi}{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，
又$\frac{z-1}{z+1}$是純虛數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-1=0}\\{y≠0}\end{array}\right.$，則|z|=1，
∴|z²-z+1|=$|z（z+\overline{z}-1）|$=$|z|•|z+\overline{z}-1|$
=$|z+\overline{z}-1|$=|2x-1|＜3．
故答案為：[0，3）．

點評 本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)模的求法，訓練了絕對值不等式的應用，是中檔題．