Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，cos$\frac{x}{2}$）與$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$，y）共線，且有函數(shù)y=f（x）．
（Ⅰ）若f（x）=1，求$cos（\frac{2π}{3}-2x）$的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C，的對邊分別是a，b，c，且滿足2acosC+c=2b，求函數(shù)f（B）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量共線的坐標(biāo)表示，運用二倍角公式和兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式，計算即可得到；
（Ⅱ）運用正弦定理和兩角和的正弦公式，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線
∴$\frac{1}{{\sqrt{3}sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}}}=\frac{{cos\frac{x}{2}}}{y}$，
即$y=\sqrt{3}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+{cos^2}\frac{x}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx+\frac{1}{2}（1+cosx）=sin（x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
∴$f（x）=sin（x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}=1$，即$sin（x+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
即有$cos（\frac{2π}{3}-2x）=cos2（\frac{π}{3}-x）=2{cos^2}（\frac{π}{3}-x）-1=2{sin^2}（x+\frac{π}{6}）-1=-\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）已知2acosC+c=2b
由正弦定理得：2sinAcosC+sinC=2sinB
即2sinAcosC+sinC=2sin（A+C）
=2sinAcosC+2cosAsinC，
∴$cosA=\frac{1}{2}$，
∴在△ABC中∠$A=\frac{π}{3}$，
則$f（B）=sin（B+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
∵∠$A=\frac{π}{3}$∴$0＜B＜\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}＜B+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}＜sin（B+\frac{π}{6}）≤1$，$1＜f（B）≤\frac{3}{2}$，
∴函數(shù)f（B）的取值范圍為$（1，\;\frac{3}{2}]$．

點評 本題考查向量共線的坐標(biāo)表示和二倍角公式、兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式的運用，考查正弦定理和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．