Question

1．記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n+（1+$\frac{2}{n}$）a_n=4，則a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 由S_n+（1+$\frac{2}{n}$）a_n=4，得a₁=1，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{2（n-1）}$，由此利用累乘法能求出a_n．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n+（1+$\frac{2}{n}$）a_n=4，
∴${a}_{1}+（1+\frac{2}{1}）{a}_{1}=4$，解得a₁=1，
${S}_{n-1}+（1+\frac{2}{n-1}）{a}_{n-1}=4$，n≥2，
兩式相減，得：a_n=（1+$\frac{2}{n-1}$）a_n-1-（1+$\frac{2}{n}$）a_n，
∴${a}_{n}（\frac{2n+2}{n}）={a}_{n-1}（\frac{n+1}{n-1}）$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{2（n-1）}$，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{2}{2×1}$，
∴a_n=${a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=$1×\frac{2}{2×1}×\frac{3}{2×2}×…×\frac{n}{2（n-1）}$
=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
故答案為：$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累乘法的合理運(yùn)用．