Question

12．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-2b
（1）a=b＞0時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）＜0；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若對(duì)任意的x∈（-∞，2），不等式f（x）≥1恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）若|f（-1）|≤1，|f（1）|≤3，求|a|+|b+2|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=b＞0時(shí)，不等式可化為x²+x-2＜0，解之可得；
（2）原不等式化為$b≤\frac{{{x^2}-1}}{2-x}，x∈（-∞，2）$恒成立，由基本不等式求右邊式子的最小值可得；
（3）可得-1≤a-3b≤1，-3≤a-b≤3，進(jìn)而可得a∈[-5，5]，b∈[-2，2]，分類討論去絕對(duì)值可得．

解答 解：（1）當(dāng)a=b＞0時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）＜0可化為bx²+bx-2b＜0，
即b（x²+x-2）＜0，除以b可得x²+x-2＜0，解得-2＜x＜1
∴f（x）＜0的解集為（-2，1）；     
（2）當(dāng)a=1時(shí)原不等式f（x）≥1可化為b（x-2）≥1-x²，
∵x∈（-∞，2），∴原不等式化為$b≤\frac{{{x^2}-1}}{2-x}，x∈（-∞，2）$恒成立，
由基本不等式可得$\frac{{{x^2}-1}}{2-x}=2-x+\frac{3}{2-x}-4≥2\sqrt{3}-4$，
當(dāng)且僅當(dāng)2-x=$\frac{3}{2-x}$即x=2-$\sqrt{3}$時(shí)取等號(hào)，
∴$b≤2\sqrt{3}-4$
（3）由題意題目條件化為-1≤a-3b≤1，-3≤a-b≤3，
作圖可知a∈[-5，5]，b∈[-2，2]，去掉一個(gè)絕對(duì)值
z=|a|+b+2，對(duì)a討論再去掉一個(gè)絕對(duì)值．
當(dāng)-5≤a≤0時(shí)，由線性規(guī)劃得$\frac{5}{3}≤z≤5$；
當(dāng)0＜a≤5時(shí)，$\frac{5}{3}＜z≤9$，
綜上可得$\frac{5}{3}≤z≤9$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單選項(xiàng)規(guī)劃，涉及基本不等式求最值和恒成立問(wèn)題，屬中檔題．