Question

2．已知$\overrightarrow{p}$與$\overrightarrow{q}$是兩個夾角為60°的單位向量，且2$\overrightarrow{p}$-$\overrightarrow{q}$與k$\overrightarrow{p}$+$\overrightarrow{q}$的夾角為120°，求k．

Answer 1

分析 由已知得到$\overrightarrow{p}$與$\overrightarrow{q}$的數(shù)量積為$\frac{1}{2}$，由2$\overrightarrow{p}$-$\overrightarrow{q}$與k$\overrightarrow{p}$+$\overrightarrow{q}$的夾角為120°，利用數(shù)量積公式得到關于k的等式解之．

解答 解：由已知得到$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=1×1×cos60°=$\frac{1}{2}$，又|2$\overrightarrow{p}$-$\overrightarrow{q}$|=$\sqrt{4{\overrightarrow{p}}^{2}-4\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}+{\overrightarrow{q}}^{2}}$=$\sqrt{3}$，|k$\overrightarrow{p}$+$\overrightarrow{q}$|=${\sqrt{{k}^{2}{\overrightarrow{p}}^{2}+2k\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}+{\overrightarrow{q}}^{2}}}^{\;}$=$\sqrt{{k}^{2}+k+1}$，
所以（2$\overrightarrow{p}$-$\overrightarrow{q}$）（k$\overrightarrow{p}$+$\overrightarrow{q}$）=$\sqrt{3}\sqrt{{k}^{2}+k+1}×cos120°$=2k-1+1-$\frac{k}{2}$，
解得k=-2．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積公式的運用；熟練運用公式是關鍵，屬于基礎題