Question

12．已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-a|．
（1）當a=1時，解不等式f（x）≤5；
（2）若不等式f（x）≥3-2a，對x∈[1，2]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，不等式即|x+1|+|x-1|≤5，再利用絕對值的意義求得它的解集．
（2）由題意可得|x-a|≥2-2a-x恒成立，數(shù)形結(jié)合求得a的范圍．

解答 解：（1）當a=1時，不等式f（x）≤5，即|x+1|+|x-1|≤5．
而|x+1|+|x-1|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到-1、1對應(yīng)點的距離之和，
由于-2.5和2.5對應(yīng)點到-1、1對應(yīng)點的距離之和正好等于5，
故|x+1|+|x-1|≤5的解集為[-2.5，2.5]．
（2）由于當x∈[1，2]時，f（x）=|x+1|+|x-a|≥3-2a恒成立，
即x+1+|x-a|≥3-2a恒成立，即|x-a|≥2-2a-x恒成立．
故有函數(shù)y=|x-a|的圖象在[1，2]上不能位于y=2-2a-x的下方，
如圖所示：
故有|a-a|≥2-2a-a，∴a≥$\frac{2}{3}$．

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．