Question

18．設(shè)點P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上于點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右交點，I為△PF₁F₂的內(nèi)心，若S${\;}_{△IP{F}_{1}}$+S${\;}_{△IP{F}_{2}}$=2S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，則該橢圓的離心率是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 先利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)，將已知面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為焦點三角形PF₁F₂的邊長間的關(guān)系，再利用橢圓的定義和橢圓離心率定義，即可算得該橢圓的離心率

解答 解：設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為r，
則由S${\;}_{△IP{F}_{1}}$+S${\;}_{△IP{F}_{2}}$=2S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，
得$\frac{1}{2}$PF₁×r+$\frac{1}{2}$PF₂×r=2×$\frac{1}{2}$F₁F₂×r
即PF₁+PF₂=2F₁F₂
即2a=2×2c
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故選：C．

點評 本題主要考查了橢圓的定義、橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓的離心率的定義及其計算方法，屬中檔題．