Question

13．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₁且與x軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，直線AF₂與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為C，若△ABF₂的面積是△BCF₂的面積的2倍，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{10}$

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），設(shè)x=-c，代入橢圓方程，求得A的坐標(biāo)，設(shè)出C（x，y），由△ABF₂的面積是△BCF₂的面積的2倍，可得$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}C}$，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得x，y，代入橢圓方程，運(yùn)用離心率公式，解方程即可得到所求值．

解答 解：設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由x=-c，代入橢圓方程可得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
可設(shè)A（-c，$\frac{^{2}}{a}$），C（x，y），
由△ABF₂的面積是△BCF₂的面積的2倍，
可得$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}C}$，
即有（2c，-$\frac{^{2}}{a}$）=2（x-c，y），
即2c=2x-2c，-$\frac{^{2}}{a}$=2y，
可得x=2c，y=-$\frac{^{2}}{2a}$，
代入橢圓方程可得，$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{4{a}^{2}}$=1，
由e=$\frac{c}{a}$，b²=a²-c²，
即有4e²+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$e²=1，
解得e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用橢圓的方程和向量的共線的坐標(biāo)表示，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．