Question

6．拋物線x²=2py的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，互相垂直的直線l₁，l₂都過焦點(diǎn)F．若l₁與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，l₂與拋物線交于C，D兩點(diǎn)且l₁的斜率大于0，A，C在第一象限．
（1）求拋物線方程；
（2）求證：直線AC，BD的交點(diǎn)在準(zhǔn)線上；
（3）求直線AC，BD的交點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意求出p，代入拋物線方程得答案；
（2）由題意設(shè)A（x₁，y₁）（x₁＞0），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．結(jié)合拋物線的性質(zhì)把點(diǎn)的坐標(biāo)用x₁，x₃表示，寫出兩直線方程聯(lián)立后求出交點(diǎn)坐標(biāo)得答案；
（3）由兩直線垂直可得$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FC}=0$，整理得到x₁x₃+$\frac{{（x}_{1}{x}_{3}）^{2}}{16}$-$\frac{（{x}_{1}+{x}_{3}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{3}}{4}$+1=0，設(shè)x₁x₃=t（t＞0），把x₁+x₃用t表示，代入交點(diǎn)橫坐標(biāo)后，利用基本不等式求出x²≥0，從而可得直線AC，BD的交點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍．

解答 （1）解：由拋物線x²=2py的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，得p=2，
∴拋物線方程為：x²=4y；
（2）證明：由題意設(shè)A（x₁，y₁）（x₁＞0），B（x₂，y₂），
C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
則${y}_{1}=\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}，{y}_{2}=\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}，{y}_{3}=\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}，{y}_{4}=\frac{{{x}_{4}}^{2}}{4}$，
且x₁x₂=-4，x₃x₄=-4，y₁y₂=1，y₃y₄=1．
∴A（${x}_{1}，\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（$-\frac{4}{{x}_{1}}，\frac{4}{{{x}_{1}}^{2}}$），C（${x}_{3}，\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}$），D（$-\frac{4}{{x}_{3}}，\frac{4}{{{x}_{3}}^{2}}$）．
${k}_{AC}=\frac{\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}}{{x}_{3}-{x}_{1}}=\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{4}$，${k}_{BD}=\frac{\frac{4}{{{x}_{3}}^{2}}-\frac{4}{{{x}_{1}}^{2}}}{\frac{4}{{x}_{1}}-\frac{4}{{x}_{3}}}=-\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{{x}_{1}{x}_{3}}$．
∴AC所在直線方程為$y-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}=\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{4}（x-{x}_{1}）$，
BD所在直線方程為$y-\frac{4}{{{x}_{1}}^{2}}=-\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{{x}_{1}{x}_{3}}（x+\frac{4}{{x}_{1}}）$，
兩式聯(lián)立解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}{x}_{3}-4}{{x}_{1}+{x}_{3}}}\\{y=-1}\end{array}\right.$．
∴直線AC，BD的交點(diǎn)在準(zhǔn)線上；
（3）解：由題意可知：$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FC}=0$，即$（{x}_{1}，\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-1）•（{x}_{3}，\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}-1）=0$，
∴${x}_{1}{x}_{3}+（\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-1）（\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}-1）=0$，
即x₁x₃+$\frac{{（x}_{1}{x}_{3}）^{2}}{16}$-$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{3}}^{2}}{4}$+1=0，
則x₁x₃+$\frac{{（x}_{1}{x}_{3}）^{2}}{16}$-$\frac{（{x}_{1}+{x}_{3}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{3}}{4}$+1=0，
設(shè)x₁x₃=t（t＞0），
則$t+\frac{{t}^{2}}{16}-\frac{（{x}_{1}+{x}_{3}）^{2}-2t}{4}+1=0$，
即$（{x}_{1}+{x}_{3}）^{2}=\frac{{t}^{2}+24t+16}{4}$．
∴${x}^{2}=\frac{（t-4）^{2}}{\frac{{t}^{2}+24t+16}{4}}=\frac{4（{t}^{2}-8t+16）}{{t}^{2}+24t+16}$=$4-\frac{128}{t+\frac{16}{t}+24}$≥0．
上式當(dāng)且僅當(dāng)t=4時(shí)“=”成立．
∴x∈（-∞，+∞）．
即直線AC，BD的交點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍是（-∞，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，平面解析式的基礎(chǔ)知識．考查了考生的基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用和知識遷移的能力和計(jì)算能力．訓(xùn)練了利用基本不等式求最值．難度較大．