Question

【題目】已知數(shù)列的前項和為，且

（）求數(shù)列的通項公式；

（）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式；

（）在（）的條件下，設(shè)，問是否存在實數(shù)使得數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】⑴；⑵.

【解析】

試題（1）由遞推關(guān)系式消去，可得，數(shù)列為等比數(shù)列，且首項為，公比，所以．（2）由遞推得：

兩式相減得：又

當(dāng)時,所以

（3） 因為

所以當(dāng)時,

依據(jù)題意,有即

分類討論，為奇數(shù)或偶數(shù)，分離參數(shù)即可求出的取值范圍是

試題解析：⑴ 由得兩式相減,得

所以由又得

所以數(shù)列為等比數(shù)列，且首項為，公比，所以．

⑵ 由 ⑴ 知

由

得

故即

當(dāng)時,所以

⑶ 因為

所以當(dāng)時,

依據(jù)題意,有即

①當(dāng)為大于或等于的偶數(shù)時,有恒成立．

又隨增大而增大,

則當(dāng)且僅當(dāng)時,故的取值范圍為

②當(dāng)為大于或等于的奇數(shù)時,有恒成立,且僅當(dāng)時,

故的取值范圍為

又當(dāng)時,由

得

綜上可得,所求的取值范圍是