Question

7．已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到最小值；
（II）由題意可得2xlnx≥-x²+ax-3，則$a≤2lnx+x+\frac{3}{x}$，設(shè)$h（x）=2lnx+x+\frac{3}{x}（x＞0）$，求出h（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值，由恒成立思想，即可得到a的范圍．

解答 解：（I）f′（x）=lnx+1，由f′（x）=0，得$x=\frac{1}{e}$．
當(dāng)$x∈（0，\frac{1}{e}），f'（x）＜0，f（x）$單調(diào)遞減，
當(dāng)$x∈（\frac{1}{e}，+∞），f'（x）＞0，f（x）$單調(diào)遞增，
則有$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$；
（II）2xlnx≥-x²+ax-3，則$a≤2lnx+x+\frac{3}{x}$，
設(shè)$h（x）=2lnx+x+\frac{3}{x}（x＞0）$，則$h'（x）=\frac{（x+3）（x-1）}{x^2}$，
x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
所以h（x）_min=h（1）=4，
對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
只需a≤h（x）_min=4．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，主要考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵．