Question

4．求所有定義在非零實(shí)數(shù)上的函數(shù)f（x），它滿足：
（1）對(duì)所有非零實(shí)數(shù)x，f（x）=xf（$\frac{1}{x}$）；
（2）對(duì)所有x+y≠0的非零實(shí)數(shù)對(duì)（x，y），f（x）+f（y）=1+f（x+y）．

Answer 1

分析 利用賦值法，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-1，判斷出函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，再通過(guò)證明得到g（x）=x，繼而求出函數(shù)f（x）．

解答 解：∵f（x）+f（y）=1+f（x+y），
令g（x）=f（x）-1，
∴g（x+y）=g（x）+g（y）…（1）
∴g（x）+1=xg（$\frac{1}{x}$）+x…（2），
令x=-1，則g（-1）+1=-g（-1）-1，
解得g（-1）=-1，
再對(duì)（1）取y=-x-1得-1=g（x-x-1）=g（x）+g（-x）+g（-1），
∴g（-x）=-g（x），
即g（x）是奇函數(shù)．
將（2）變形為：
g（x）-x=x[g（$\frac{1}{x}$）-$\frac{1}{x}$]…（3）
如果存在a＞0使得g（a）＞a，那么g（$\frac{1}{a}$）＞$\frac{1}{a}$，
∵g（-a）=-g（a）＜-a，
在（3）中取x=-a得到g（-$\frac{1}{a}$）＞-$\frac{1}{a}$，
∴g（$\frac{1}{a}$）=-g（-$\frac{1}{a}$）＜$\frac{1}{a}$，矛盾．
同理可以證明不存在a＞0使得g（a）=0時(shí)只能有g(shù)（a）=a．
再利用奇函數(shù)的性質(zhì)得a＜0時(shí)也有g(shù)（a）=a，
即（1）和（2）只有唯一解
g（x）=x，
∴f（x）=x+1

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，正確賦值是迅速解題的關(guān)鍵，考查函數(shù)解析式的求法：函數(shù)方程法，屬于難題．