Question

10．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，2S_n=na_n+5n
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）已知S₃=21，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2S_n=n•a_n+5n，得：2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n+5（n-1）a_n+1-na_n+5=0，從而na_n+2-2na_n+1+na_n=0，由此能證明{a_n}為等差數(shù)列．
（Ⅱ）由等差數(shù)列項公式求出a₂=7，由n=1，得a₁=5，從而求出{a_n}的公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 證明：（Ⅰ）2S_n=n•a_n+5n，①
以n+1代替①式中的n，得：2S_n+1=（n+1）a_n+1+5（n+1），②
②-①，得：2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n+5（n-1）a_n+1-na_n+5=0，③
以n+1代換③中的n 得：na_n+2-（n+1）a_n+1+5=0，④
④-③，得：na_n+2-2na_n+1+na_n=0，
即a_n+2+a_n=2a_n+1，
∴{a_n}為等差數(shù)列．
解：（Ⅱ）∵S₃=3a₂=21，∴a₂=7，
①式中，n=1，得a₁=5，
∴{a_n}的公差d=a₂-a₁=2，
∴a_n=2n+3．

點評 本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．