Question

【題目】(2016·全國(guó)Ⅲ卷)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.

(1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

(2)若S5＝，求λ.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）λ＝－1.

【解析】試題分析：（1）利用前n項(xiàng)和與前n-1項(xiàng)和相減，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（2）通過(guò)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，以及前5項(xiàng)和的值列出方程，即可求出等比數(shù)列的公比。

試題解析：(1)證明　由題意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.

由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，

得an＋1＝λan＋1－λan，

即an＋1(λ－1)＝λan，由a1≠0，λ≠0得an≠0，

所以＝.

因此{an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

于是an＝.

(2)解　由(1)得Sn＝1－.

由S5＝得1－＝，即＝.

解得λ＝－1.