Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若為偶函數(shù)，求的值并寫出的增區(qū)間；

（Ⅱ）若關(guān)于的不等式的解集為，當時，求的最小值；

（Ⅲ）對任意的，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；增區(qū)間.

(2) 的最小值為，取“”時.

(3) .

【解析】

分析：（Ⅰ）由偶函數(shù)的定義得，求出的值.再根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間的判斷方法，確定的增區(qū)間；

（Ⅱ）根據(jù)已知條件結(jié)合韋達定理，求得的值.再化簡整理的表達式，結(jié)合和基本不等式即可得到答案.

（Ⅲ）先求出區(qū)間上，再將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為上恒成立問題，構(gòu)造新函數(shù)，得恒成立，分類討論求得參數(shù)的值.

詳解：解：（Ⅰ） 為偶函數(shù)，

，即，解得.

所以，函數(shù)，對稱軸，增區(qū)間

（Ⅱ）由題知

∴

又∵，∴

∴，

即的最小值為，取“”時

（Ⅲ）∵時，

∴在恒成立

記，（）

①當時，

由，∴

②當時，

由，∴

③當時，

由，

綜上所述，的取值范圍是