Question

13．已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所有棱長均為2，若點(diǎn)A₁在底面ABC的射影O落在AB的中點(diǎn)M上．
（1）在線段A₁C₁上找到一點(diǎn)N，使得MN∥面B₁C₁CB，求A₁N的長度；
（2）求四棱錐體積V_A-BB1C1C．

Answer 1

分析 （1）取A₁C₁中點(diǎn)N，B₁C₁的中點(diǎn)E，連結(jié)BE，EN，由三角形中位線定理可得EN∥A₁B₁，結(jié)合三棱柱的性質(zhì)可得A₁B₁∥BM，再由邊長相等可得四邊形ENBM為平行四邊形，由此證得MN∥面B₁C₁CB，此時(shí)A₁N=1；
（2）求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積，再求出三棱錐A-A₁B₁C₁的體積，則由${V_{A-B{B_1}{C_1}C}}$=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$$-{V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$ 得答案．

解答 解：（1）取A₁C₁中點(diǎn)N，則A₁N=1，
取B₁C₁的中點(diǎn)為E，連結(jié)BE，EN則EN∥A₁B₁，
又A₁B₁∥BM，∴EN∥BM，且$EN=\frac{1}{2}{A}_{1}{B}_{1}=BM$，
∴四邊形ENBM為平行四邊形，
∴有MN∥BE，即MN∥面B₁C₁CB，此時(shí)A₁N=1；
（2）∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，${A}_{1}M=\sqrt{3}$，
∴${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=${S}_{△ABC}•{A}_{1}M=\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$，
${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}•{A}_{1}M$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}=1$，
∴${V_{A-B{B_1}{C_1}C}}$=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$$-{V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=3-1=2．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．