Question

3．設(shè)橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，右頂點為A，上頂點為B，已知$|AB|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}|{F_1}{F_2}|$，則C的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意作圖，從而可得|AB|²=a²+b²，|F₁F₂|²=4c²，再結(jié)合$|AB|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}|{F_1}{F_2}|$，化簡可得a²=2c²，從而求得．

解答 解：由題意作圖如下，
，
由題意知，|AB|²=a²+b²，|F₁F₂|²=4c²，
∵$|AB|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}|{F_1}{F_2}|$，
∴a²+b²=$\frac{3}{4}$•4c²，
即a²+a²-c²=3c²，
即a²=2c²，
故e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查了圓錐曲線的性質(zhì)應(yīng)用，同時考查了學(xué)生的作圖能力及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．