Question

在區(qū)間（-2，1）內，函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx在x=-1處取得極小值，在x=

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3

處取得極大值．
（Ⅰ） 求a，b的值；
（Ⅱ）討論f（x）在（-∞，+∞）上的單調性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，利用函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx在x=-1處取得極小值，在x=

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3

處取得極大值，建立方程，即可求a，b的值；
（Ⅱ）利用導數(shù)的正負，即可得到f（x）在（-∞，+∞）上的單調區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=-x³+ax²+bx，∴f′（x）=-3x²+2ax+b（2分）
∵函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx在x=-1處取得極小值，在x=

2

3

處取得極大值
∴f′（-1）=0，f′(

2

3

)=0（6分）
∴-3（-1）²+2a×（-1）+b=0，-3(

2

3

)2+2a×(

2

3

)+b=0
聯(lián)立求解得a=-

1

2

，b=2（8分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f'（x）=-3x²-x+2，f(x)=-x3-

x2

2

+2x，
當x∈[-2，1]時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：（12分）

x	（-∞，-1）	-1	(-1， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，+∞)
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）		極小值		極大值

∴f（x）在（-∞，-1），(

2

3

，+∞)上單調遞減；（14分）
f（x）在(-1，

2

3

)上的單調遞增．（15分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調性，正確求導是關鍵．