Question

20．已知x∈（0，$\frac{π}{2}$），求函數(shù)f（x）=3cosx+4$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$的最大值，并說明等號成立的條件．

Answer 1

分析 設(shè)向量$\overrightarrow{m}$=（3，4），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$），可得f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$≤|$\overrightarrow{m}$||$\overrightarrow{n}$|由向量的模長公式可得．

解答 解：設(shè)向量$\overrightarrow{m}$=（3，4），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$），
∴f（x）=3cosx+4$\sqrt{1+si{n}^{2}x}$=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$≤|$\overrightarrow{m}$||$\overrightarrow{n}$|
=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$•$\sqrt{co{s}^{2}x+1+si{n}^{2}x}$=5$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$時(shí)，上式取等號．
∴所求最大值為5$\sqrt{2}$，此時(shí)$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的最值，構(gòu)造向量是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．