Question

12．已知函數(shù)f（x）=ax（x+1）-lnx．
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+lnx-ax²+e^x，當(dāng)a＜-1時，求g（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求得導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程；
（2）求得g（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；由導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，進而得到極值．

解答 解：（1）當(dāng)a=1，f（x）=x（x+1）-lnx=x²+x-lnx，
f（1）=1+1-ln1=2，∴切點坐標(biāo)為（1，2），
$f'（x）=2x+1-\frac{1}{x}$，∴k=f'（1）=2+1-1=2．
根據(jù)直線的點斜式方程，切線方程為y-2=2（x-1），
∴f（x）在（1，f（1））處的切線方程2x-y=0；
（2）依題意得，g（x）=ax²+ax-lnx+lnx-ax²+e^x=ax+e^x
g'（x）=a+e^x，由e^x＞-a，
∵a＜-1，∴-a＞1，解得x＞ln（-a），
∴f（x）在（ln（-a），+∞）上單調(diào)遞增，
在（0，ln（-a））上單調(diào)遞減．
∴$g{（x）_{極小值}}=g（ln（-a））=aln（-a）+{e^{ln（-a）}}=-a+aln（-a）$，g（x）無極大值．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查運算能力，正確求出導(dǎo)數(shù)是解題的關(guān)鍵．