Question

8．設O為△ABC的外心，且5$\overrightarrow{OA}+12\overrightarrow{OB}+13\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，則△ABC的內角C的值為（　�。�

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 設出外接圓的半徑，由5$\overrightarrow{OA}+12\overrightarrow{OB}+13\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，移項得$5\overrightarrow{OA}+12\overrightarrow{OB}=-13\overrightarrow{OC}$，再平方得到$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，從而得到∠AOB，最后根據圓心角等于同弧所對的圓周角的兩倍得△ABC中的內角C值．

解答 解：設外接圓的半徑為R，
∵5$\overrightarrow{OA}+12\overrightarrow{OB}+13\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，
∴移項得$5\overrightarrow{OA}+12\overrightarrow{OB}=-13\overrightarrow{OC}$，
∴（$5\overrightarrow{OA}+12\overrightarrow{OB}$）²=（-13$\overrightarrow{OC}$）²，
∴169R²+120$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=169R²，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，∴∠AOB=$\frac{π}{2}$，
∵根據圓心角等于同弧所對的圓周角的關系如圖：
所以△ABC中的內角C值為$\frac{π}{4}$．
故選：C．

點評 本小題主要考查三角形外心的應用、向量在幾何中的應用等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于中檔題．