Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（2x-1）-ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整數(shù)x₀，使得f（x₀）＜0，則a的取值范圍是[$\frac{3}{2e}$，1）．

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=e^x（2x-1），y=ax-a，則存在唯一的整數(shù)x₀，使得g（x₀）在直線y=ax-a的下方，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=e^x（2x-1）-ax+a，其中a＜1，
設(shè)g（x）=e^x（2x-1），y=ax-a，
∵存在唯一的整數(shù)x₀，使得f（x₀）＜0，
∴存在唯一的整數(shù)x₀，使得g（x₀）在直線y=ax-a的下方，
∵g′（x）=e^x（2x+1），
∴當(dāng)x＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，g′（x）＜0，
∴當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，[g（x）]_min=g（-$\frac{1}{2}$）=-2e${\;}^{-\frac{1}{2}}$．
當(dāng)x=0時(shí)，g（0）=-1，g（1）=e＞0，
直線y=ax-a恒過(guò)（1，0），斜率為a，故-a＞g（0）=-1，
且g（-1）=-3e^-1≥-a-a，解得$\frac{3}{2e}≤a＜1$．
∴a的取值范圍是[$\frac{3}{2e}$，1）．
故答案為：[$\frac{3}{2e}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．