Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=|lgx|，且f（a）=f（b）=2f（$\frac{a+b}{2}$），其中a，b∈R，0＜a＜b．求證：
（1）a＜1＜b；
（2）2＜4b-b²＜3．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=|lgx|，f（a）=f（b）可知|lga|=|lgb|．再由0＜a＜b，y=lgx是增函數(shù)，可知-lga=lgb，由此可證a＜1＜b．
（2）由f（a）=f（b）=2f（$\frac{a+b}{2}$）可知$\frac{1}{a}$=b=$\frac{（a+b）^{2}}{4}$，由此可證2＜4b-b²＜3．

解答 （1）證明：∵f（x）=|lgx|，f（a）=f（b），
∴|lga|=|lgb|．
∵0＜a＜b，y=lgx是增函數(shù)，
∴-lga=lgb，
故a＜1＜b．
（2）證明：∵-lga=lgb，
∴l(xiāng)g$\frac{1}{a}$=lgb，
∴ab=1，
∵0＜a＜b，
∴$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$=1．
∵f（a）=f（b）=2f（$\frac{a+b}{2}$），
∴l(xiāng)g$\frac{1}{a}$=lgb=lg（$\frac{a+b}{2}$）²，
∴$\frac{1}{a}$=b=$\frac{（a+b）^{2}}{4}$．
∴4b=（$\frac{1}$+b）²=$\frac{1}{^{2}}$+b²+2，
∴4b-b²=$\frac{1}{^{2}}$+2，
∵b＞1，
∴2＜4b-b²＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)圖象的對(duì)折變換，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，難度中檔．