Question

20．設(shè)函數(shù)$f（x）=cos（{πx-π}）+1，\;\;x∈（{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}）$，若關(guān)于x的方程2[f（x）]²-（2a+3）f（x）+3a=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （0，1）
• B． $（{0，\frac{3}{2}}）$
• C． （1，2）
• D． $（{1，\frac{3}{2}}）∪（{\frac{3}{2}，2}）$

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)方程可得f（x）=$\frac{3}{2}$或f（x）=a；從而作函數(shù)$f（x）=cos（{πx-π}）+1，\;\;x∈（{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}）$的圖象，化為圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題即可．

解答 解：∵2[f（x）]²-（2a+3）f（x）+3a=0，
∴（2f（x）-3）（f（x）-a）=0，
∴f（x）=$\frac{3}{2}$或f（x）=a；
作函數(shù)$f（x）=cos（{πx-π}）+1，\;\;x∈（{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}）$的圖象如下，
，
結(jié)合圖象可知，
1＜a＜$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{2}$＜a＜2；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的根的解法及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．