Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}$+bx+c在x₁處取得極大值，在x₂處取得極小值，滿足x₁∈（-1，0），x₂∈（0，1），則$\frac{a+2b+4}{a+2}$的取值范圍是（1，3）．

Answer 1

分析 先求f′（x）=x²+ax+b，這樣即可得到x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩個實數(shù)根，由韋達定理及已知的x₁，x₂的范圍即可求出a，b的范圍．而$\frac{a+2b+4}{a+2}=1+\frac{2b+2}{a+2}$，所以分別求出$\frac{1}{a+2}，2b+2$的范圍，這樣即可求出$\frac{2b+2}{a+2}$的范圍，從而求得$\frac{a+2b+4}{a+2}$的取值范圍．

解答 解：f′（x）=x²+ax+b；
根據(jù)極值的概念知，x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩個實數(shù)根；
∴根據(jù)韋達定理得x₁+x₂=-a，x₁x₂=b；
∵x₁∈（-1，0），x₂∈（0，1）；
∴-1＜a＜1，-1＜b＜0；
∴1＜a+2＜3，$\frac{1}{3}＜\frac{1}{a+2}＜1$，0＜2b+2＜2；
∴$0＜\frac{2b+2}{a+2}＜2$；
∴$1＜1+\frac{2b+2}{a+2}＜3$；
∴$1＜\frac{a+2b+4}{a+2}＜3$；
∴$\frac{a+2b+4}{a+2}$的取值范圍是（1，3）．
故答案為：（1，3）．

點評 考查極值點的定義，函數(shù)在極值點處的導數(shù)為0，以及韋達定理，不等式的運算．