Question

9．已知函數(shù)f（x）=log_mx（m＞0且m≠1），點(diǎn)（a_n，2n）在函數(shù)f（x）的圖象上．
（Ⅰ）若b_n=a_n•f（a_n），當(dāng)m=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時(shí)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）設(shè)c_n=$\frac{a_n}{m^n}•lg\frac{a_n}{m^n}$，若數(shù)列{c_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過點(diǎn)（a_n，2n）在函數(shù)f（x）的圖象上可得a_n=m²ⁿ，結(jié)合當(dāng)m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)b_n=2n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，求出S_n、$\frac{1}{3}$S_n的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列的求和公式即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過c_n=mⁿnlgm及數(shù)列{c_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，可得nlgm＜m（n+1）lgm對(duì)任意的n∈N^*都成立，分0＜m＜1、m＞1兩種情況討論即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得log_ma_n=2n，∴a_n=m²ⁿ，
當(dāng)m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，b_n=a_n•log_ma_n=m²ⁿ•2n=2n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴S_n=2•$\frac{1}{3}$+4•（$\frac{1}{3}$）²+6•（$\frac{1}{3}$）³+…+（2n-2）•（$\frac{1}{3}$）^n-1+2n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{3}$S_n=2•（$\frac{1}{3}$）²+4•（$\frac{1}{3}$）³+6•（$\frac{1}{3}$）⁴+…+（2n-2）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ+2n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減，得$\frac{2}{3}$S_n=$\frac{2}{3}$+2[（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+（$\frac{1}{3}$）⁴+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ]-2n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{2}{3}$+2•$\frac{（\frac{1}{3}）^{2}[1-（\frac{1}{3}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{3}}$-2n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
=1-（2n+3）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
∴S_n=$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{2•{3}^{n}}$；
（Ⅱ）由題意得c_n=$\frac{a_n}{m^n}•lg\frac{a_n}{m^n}$=$\frac{{m}^{2n}}{{m}^{n}}$•$lg\frac{{m}^{2n}}{{m}^{n}}$=mⁿnlgm，
∵數(shù)列{c_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴c_n＜c_n+1對(duì)任意的n∈N^*都成立，
∴mⁿnlgm＜mⁿ⁺¹（n+1）lgm，
即nlgm＜m（n+1）lgm對(duì)任意的n∈N^*都成立，
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，m＜$\frac{n}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$對(duì)任意的n∈N^*都成立，
設(shè)h（x）=1-$\frac{1}{n+1}$，易知h（n）是遞增函數(shù)，h（n）_min=h（1）=$\frac{1}{2}$，
∴0＜m＜$\frac{1}{2}$；
當(dāng)m＞1時(shí)，m＞$\frac{n}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$，
∵1-$\frac{1}{n+1}$＜1對(duì)任意的n∈N^*都成立，
∴m≥1且m＞1，∴m＞1，
綜上所述，0＜m＜$\frac{1}{2}$或m＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的和，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)等知識(shí)，考查分類討論的思想，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．