Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=ax+xe^b-x（其中a，b為常數(shù)），函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（2，2e+2）處的切線的斜率為e-1．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的不等式組，解出即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到f′（x）＞0，f（x）遞增．

解答 解：（1）f'（x）=a+e^b-x-xe^b-x，
f'（2）=a-e^b-2=e-1，①，
且f（2）=2a+2e^b-2=2e+2②，
由①②得a=e，b=2，
所以f（x）=ex+xe^2-x．
（2）f'（x）=e+e^2-x-xe^2-x，
令f''（x）=-e^2-x-e^2-x+xe^2-x=e^2-x（x-2）=0，解得：x=2，
x，f′′（x），f′（x）的變化如下表：

x	（-∞，2）	2	（2，+∞）
f''（x）	-	0	+
f'（x）

∴f'（x）_最小值=e-1＞0，即f'（x）＞0恒成立，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．