Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2ex，x＜0}\\{{e}^{x}，x≥0}\end{array}\right.$，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若關(guān)于x的方程f（x）-a|x|=0（a∈R）有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)y=f（x）-a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由分段函數(shù)知需要討論，當(dāng)x≥0時(shí)，可得a=$\frac{{e}^{x}}{x}$，x＞0；令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，從而求導(dǎo)g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$；從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；當(dāng)x＜0時(shí)，方程f（x）-a|x|=0可化為-x（x+2e-a）=0，從而確定a的取值范圍；再按分段函數(shù)討論即可．

解答 解：①當(dāng)x≥0時(shí)，方程f（x）-a|x|=0可化為e^x-ax=0，
故a=$\frac{{e}^{x}}{x}$，x＞0；
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$；
故g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
且g（1）=e；
故當(dāng)a=e時(shí)，方程f（x）-a|x|=0在x≥0時(shí)有一個(gè)解，
當(dāng)a＜e時(shí)，方程f（x）-a|x|=0在x≥0時(shí)沒有解，
當(dāng)a＞e時(shí)，方程f（x）-a|x|=0在x≥0時(shí)有兩個(gè)解；
②當(dāng)x＜0時(shí)，方程f（x）-a|x|=0可化為-x（x+2e-a）=0，
故當(dāng)a＜2e時(shí)，方程f（x）-a|x|=0在x＜0時(shí)有一個(gè)解，
當(dāng)a≥2e時(shí)，方程f（x）-a|x|=0在x＜0時(shí)沒有解；
綜上所述，若關(guān)于x的方程f（x）-a|x|=0（a∈R）有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
則e＜a＜2e；
當(dāng)x＜0時(shí)，令f（x）-a=-x²-2ex-a=0，
可化為x²+2ex+a=0，
由判別式△=4e²-4a＞0，及根與系數(shù)的關(guān)系知，
方程有兩個(gè)不同的負(fù)根；
當(dāng)x≥0時(shí)，令f（x）-a=e^x-a=0，
故x=lna；
故函數(shù)y=f（x）-a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用．