Question

10．以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．圓C的圓心C的極坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），半徑r=$\sqrt{2}$．
（1）在極坐標(biāo)系中，直線θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）與圓C交于兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)間的距離；
（2）在直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)圓C內(nèi)的定點(diǎn)M（1，0）作直線l，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，以直線l的傾斜角為參數(shù)，求弦AB中點(diǎn)N的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓C的、直線的直角坐標(biāo)方程，可求圓心到直線的距離，利用勾股定理求兩點(diǎn)間的距離；
（2）設(shè)直線l的傾斜角為θ，則由題意，∠MCN=θ，CN=cosθ，即可求出弦AB中點(diǎn)N的軌跡方程．

解答 解：（1）圓C的圓心C的極坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），半徑r=$\sqrt{2}$，直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+（y-1）²=2．
直線θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）的直角坐標(biāo)方程為y=$\sqrt{3}$x，
圓心到直線的距離為$\frac{|\sqrt{3}-1|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴兩點(diǎn)間的距離為2$\sqrt{2-（\frac{\sqrt{3}-1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$；
（2）設(shè)直線l的傾斜角為θ，則由題意，∠MCN=θ，CN=cosθ
設(shè)N（x，y），則x=1+CNsinθ=1+cosθsinθ，y=1-cos²θ，
即弦AB中點(diǎn)N的軌跡方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθsinθ}\\{y=1-co{s}^{2}θ}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．