Question

12．設(shè)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的一個焦點(diǎn)為F，虛軸的一個端點(diǎn)為B，線段BF與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)A，若$\overrightarrow{FA}=2\overrightarrow{AB}$，則雙曲線的離心率為2．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{FA}=2\overrightarrow{AB}$，得$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{OF}+2\overrightarrow{OB}）$，從而求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)A在漸近線y=$\frac{a}x$上，能求出雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)點(diǎn)F（c，0），B（0，b），
由$\overrightarrow{FA}=2\overrightarrow{AB}$，得$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OF}$=2（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$），
∴$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{OF}+2\overrightarrow{OB}）$，
∴A（$\frac{c}{3}$，$\frac{2b}{3}$），
∵點(diǎn)A在漸近線y=$\frac{a}x$上，則$\frac{2b}{3}=\frac{a}•\frac{c}{3}$，
解得e=$\frac{c}{a}=2$．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意雙曲線的性質(zhì)的合理運(yùn)用．