Question

4．已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體，存在實(shí)數(shù)a、k（k≠0），對(duì)于定義域內(nèi)的任意x均有f（a+x）=kf（a-x）成立，稱數(shù)對(duì)（a，k）為函數(shù)f（x）的“伴隨數(shù)對(duì)”
（1）判斷f（x）=x²是否屬于集合M，并說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)f（x）=sinx∈M，求滿足條件的函數(shù)f（x）的所有“伴隨數(shù)對(duì)”；
（3）若（1，1），（2，-1）都是函數(shù)f（x）的“伴隨數(shù)對(duì)”，當(dāng)1≤x＜2時(shí)，$f（x）=cos（{\frac{π}{2}x}）$；當(dāng)x=2時(shí)，f（x）=0．求當(dāng)2014≤x≤2016時(shí)，函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由題意可得（a+x）²=k（a-x）²，化為（1-k）x²+2a（1+k）x+（1-k）a²=0對(duì)x∈R成立，
需滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{1-k=0}\\{2a（1+k）=0}\\{（1-k）{a}^{2}=0}\end{array}\right.$，解方程即可判斷；
（2）喲題意可得sin（a+x）=ksin（a-x），運(yùn)用兩角和差公式，化簡(jiǎn)結(jié)合余弦函數(shù)的值域即可得到所求數(shù)對(duì)；
（3）由（1，1）和（2，-1）都是函數(shù)f（x）的“伴隨數(shù)對(duì)”，所以f（1+x）=f（1-x）且f（2+x）=-f（2-x），可得f（x）為周期為4的函數(shù)，求得0＜x＜1，1＜x＜2，2＜x＜3，3＜x＜4，x=0，1，2，3，4的函數(shù)解析式，可得2014＜x＜2015，2015＜x＜2016，x=2014，2015，2016的解析式，即可得到所求零點(diǎn)．

解答 解：（1）由f（x）=x²及f（a+x）=kf（a-x），可得
（a+x）²=k（a-x）²，即為（1-k）x²+2a（1+k）x+（1-k）a²=0對(duì)x∈R成立，
需滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{1-k=0}\\{2a（1+k）=0}\\{（1-k）{a}^{2}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{k=1}\end{array}\right.$，故k=1≠0，a存在，
所以f（x）=x²∈M．
（2）由f（x）=sinx∈M得：sin（a+x）=ksin（a-x），
sinacosx+cosasinx=k（sinacosx-cosasinx），
所以（1+k）cosasinx+（1-k）sinacosx=0，
$\sqrt{{k}^{2}+2kcos2a+1}$sin（x+φ）=0對(duì)任意的x∈R都成立，只有k²+2kcos2a+1=0，
即cos2a=-$\frac{1}{2}$（k+$\frac{1}{k}$），由于|k+$\frac{1}{k}$|≥2（當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)，等號(hào)成立），
所以|cos2a|≥1，又因?yàn)閨cos2a|≤1，故|cos2a|=1．
其中k=1時(shí)，cos2a=-1，a=nπ+$\frac{π}{2}$，n∈Z；
k=-1時(shí)，cos2a=1，a=nπ，n∈Z．
故函數(shù)f（x）的“伴隨數(shù)對(duì)”為（nπ+$\frac{π}{2}$，1）和（nπ，-1），n∈Z．
（3）因?yàn)椋?，1）和（2，-1）都是函數(shù)f（x）的“伴隨數(shù)對(duì)”，
所以f（1+x）=f（1-x）且f（2+x）=-f（2-x），于是f（x+4）=f（x），
故函數(shù)f（x）是以4為周期的函數(shù)．
若0＜x＜1，則1＜2-x＜2，此時(shí)f（x）=f（2-x）=-cos（$\frac{π}{2}$x），
若2＜x＜3，則1＜4-x＜2，此時(shí)f（x）=-f（4-x）=-cos（$\frac{π}{2}$x），
若3＜x＜4，則0＜4-x＜1，此時(shí)f（x）=-f（4-x）=cos（$\frac{π}{2}$x），
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-cos（\frac{π}{2}x），0＜x＜1}\\{cos（\frac{π}{2}x），1＜x＜2}\\{-cos（\frac{π}{2}x），2＜x＜3}\\{cos（\frac{π}{2}x），3＜x＜4}\\{0，x=0，1，2，3，4}\end{array}\right.$故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-cos（\frac{π}{2}x），2014＜x＜2015}\\{cos（\frac{π}{2}x），2015＜x＜2016}\\{0，x=2014，2015，2016}\end{array}\right.$
當(dāng)2014≤x≤2016時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)分別為2014，2015，2016．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，主要考查函數(shù)的周期性和函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的零點(diǎn)的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．