Question

9．橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，右焦點為$F（\sqrt{3}，0）$，點F到短軸的一個端點的距離等于焦距．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C與曲線|y|=kx（k＞0）的交點為A，B，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得c，再由a=2c，及a，b，c的關(guān)系，可得a，b的值，即可得到橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)點A（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），則y₀=kx₀，代入橢圓方程求得A的坐標(biāo)，再由三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式可得最大值．

解答 解：（Ⅰ）由右焦點為$F（\sqrt{3}，0）$，得$c=\sqrt{3}$，
由點F到短軸的一個端點的距離等于焦距，得a=2c，
即$a=2\sqrt{3}$
則b²=a²-c²=9
所以橢圓C的方程為$\frac{{x_{\;}^2}}{12}+\frac{{y_{\;}^2}}{9}=1$；
（Ⅱ）設(shè)點A（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），則y₀=kx₀，
設(shè)AB交x軸于點D，由對稱性知：${S_{△OAB}}=2{S_{△OAD}}=2×\frac{1}{2}{x_0}{y_0}=kx_0^2$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y_0}=k{x_0}\\ \frac{x_0^2}{12}+\frac{y_0^2}{9}=1\end{array}\right.$得得$x_0^2=\frac{36}{{3+4{k^2}}}$，
所以${S_{△OAB}}=k\frac{36}{{3+4{k^2}}}=\frac{36}{{\frac{3}{k}+4k}}≤\frac{36}{{2\sqrt{\frac{3}{k}•4k}}}=3\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3}{k}=4k$，$k=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$時取等號，
所以△OAB面積的最大值$3\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意橢圓的性質(zhì)和a，b，c的關(guān)系，考查橢圓的對稱性和直線與橢圓方程聯(lián)立，求得交點，考查運算能力，屬于中檔題．