Question

如圖，半徑為2的半圓有一內(nèi)接梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上．若雙曲線以A，B為焦點(diǎn)，且過C，D兩點(diǎn)，則當(dāng)梯形ABCD的周長最大時，雙曲線的實軸長為（　�。�

• A、

  3

  +1
• B、2

  3

  +2
• C、

  3

  -1
• D、2

  3

  -2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)∠BAC=θ，作CE⊥AB于點(diǎn)E，則可表示出BC，EB，CD，進(jìn)而可求得梯形的周長的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得周長的最大值時θ的值，則AC和BC可求，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的定義求得雙曲線的長軸，

解答： 解：設(shè)∠BAC=θ，作CE⊥AB于點(diǎn)E，

則BC=2Rsinθ，EB=BCcos（90°-θ）=2Rsin²θ，有CD=2R-4Rsin²θ，
梯形的周長l=AB+2BC+CD=2R+4Rsinθ+2R-4Rsin²=8+8sinθ-8sin²θ=-8（sinθ-

1

2

）²+10
當(dāng)sinθ=

1

2

，即θ=30°時，l有最大值10，
∴BC=2，AC=2

3

，a=

1

2

（AC-BC）=

3

-1，
∴雙曲線的實軸長為2a=2

3

-2
故選：D．

點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用，雙曲線的定義．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．