Question

10．已知直線x+y+t=0與圓x²+y²=2相交于M、N兩點(diǎn)，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若|$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$|≤|$\overrightarrow{MN}$|，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-$\sqrt{2}$）∪[$\sqrt{2}$，+∞）
• B． [-2，2]
• C． [-2，-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}$，2]
• D． [-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 運(yùn)用向量的三角形法則和數(shù)量積的定義和性質(zhì)，可得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$≤0，即有cos∠MON≤0，結(jié)合余弦定理可得|MN|≥2，再由弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式，解二次不等式即可得到所求范圍．

解答 解：若|$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$|≤|$\overrightarrow{MN}$|，即為
|$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$|≤|$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OM}$|，
兩邊平方可得，${\overrightarrow{OM}}^{2}$+${\overrightarrow{ON}}^{2}$+2$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$≤${\overrightarrow{OM}}^{2}$+${\overrightarrow{ON}}^{2}$-2$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$，
可得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$≤0，
即有cos∠MON≤0，
由余弦定理可得，|OM|²|+|ON|²-|MN|²≤0
即為|MN|≥2，
由弦長(zhǎng)公式可得2$\sqrt{2-iklfo9w^{2}}$≥2，（d為圓心到直線的距離），
即有d≤1，
即$\frac{|t|}{\sqrt{2}}$≤1，解得-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題和弦長(zhǎng)公式，同時(shí)考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，屬于中檔題．