Question

13．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，且F₁，F₂與短軸的一個頂點Q構成一個等腰直角三角形，點P（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在橢圓C上．
（I）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過F₂作互相垂直的兩直線AB，CD分別交橢圓于點A，B，C，D，且M，N分別是弦AB，CD的中點，求△MNF₂面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得到關于a，b，c的方程組，求解方程組可得a，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設直線AB的方程為x=my+1，m≠0，則直線CD的方程為x=-$\frac{1}{m}$y+1，分別代入橢圓方程，由于韋達定理和中點坐標公式可得中點M，N的坐標，求得斜率和直線方程，即可得到定點H，則△MNF₂面積為S=$\frac{1}{2}$|F₂H|•|y_M-y_N|，化簡整理，再令m+$\frac{1}{m}$=t（t≥2），由于函數的單調性，即可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）經過點P（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
且F₁，F₂與短軸的一個頂點Q構成一個等腰直角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=c}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{2{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=2，b²=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）設直線AB的方程為x=my+1，m≠0，
則直線CD的方程為x=-$\frac{1}{m}$y+1，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去x得（m²+2）y²+2my-1=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{-1}{{m}^{2}+2}$，
∴x₁+x₂=（my₁+1）+（my₂+1）
=m（y₁+y₂）+2=$\frac{4}{{m}^{2}+2}$，
由中點坐標公式得M（$\frac{2}{{m}^{2}+2}，-\frac{m}{{m}^{2}+2}$），
將M的坐標中的m用-$\frac{1}{m}$代換，得CD的中點N（$\frac{2{m}^{2}}{2{m}^{2}+1}，\frac{m}{2{m}^{2}+1}$），
k_MN=$\frac{3m}{2（{m}^{2}-1）}$，
直線MN的方程為y+$\frac{m}{{m}^{2}+2}$=$\frac{3m}{2（{m}^{2}-1）}$（x-$\frac{2}{{m}^{2}+2}$），
即為y=$\frac{m}{{m}^{2}-1}（\frac{3}{2}x-1）$，
令$\frac{3}{2}x-1=0$，可得x=$\frac{2}{3}$，即有y=0，
則直線MN過定點H，且為H（$\frac{2}{3}$，0），
∴△F₂MN面積為S=$\frac{1}{2}$|F₂H|•|y_M-y_N|
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{2}{3}$）•|$-\frac{m}{{m}^{2}+2}-\frac{m}{2{m}^{2}+1}$|=$\frac{1}{2}$|$\frac{{m}^{3}+m}{2{m}^{4}+5{m}^{2}+2}$|=$\frac{1}{2}$|$\frac{m+\frac{1}{m}}{2（{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}）+5}$|，
令m+$\frac{1}{m}$=t（t≥2），由于2t+$\frac{1}{t}$的導數為2-$\frac{1}{{t}^{2}}$，且大于0，即有在[2，+∞）遞增．
即有S=$\frac{1}{2}$$•\frac{t}{2{t}^{2}+1}$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{2t+\frac{1}{t}}$在[2，+∞）遞減，
∴當t=2，即m=1時，S取得最大值，為$\frac{1}{9}$；
則△MNF₂面積的最大值為$\frac{1}{9}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線過定點的證明，解題時要認真審題，注意直線方程、韋達定理和基本不等式和函數的單調性等知識點的合理運用，是壓軸題．