Question

16．函數(shù)y=$\frac{3sinx-3}{2cosx+10}$的最大值是0，最小值是-$\frac{15}{24}$．

Answer 1

分析 y=$\frac{3sinx-3}{2cosx+10}$可化為y=$\frac{3}{2}$•$\frac{sinx-1}{cosx-（-5）}$，可看作點（cosx，sinx）和（-5，1）連線的斜率k的$\frac{3}{2}$倍，由直線和圓相切可得．

解答 解：y=$\frac{3sinx-3}{2cosx+10}$可化為y=$\frac{3}{2}$•$\frac{sinx-1}{cosx-（-5）}$，
可看作點（cosx，sinx）和（-5，1）連線的斜率k的$\frac{3}{2}$倍，
由cos²x+sin²x=1可知點（cosx，sinx）在單位圓x²+y²=1上，
當過定點（-5，1）的直線與單位圓x²+y²=1相切時k取最值，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{y-1=k（x+5）}\end{array}\right.$消去y整理可得（k²+1）x²+2k（5k+1）x+（5k+1）²-1=0，
由△=4k²（25k²+10k+1）-4（k²+1）（25k²+10k）=0可解得k=0或k=-$\frac{5}{12}$，
∴函數(shù)y=$\frac{3sinx-3}{2cosx+10}$的最大值是0，最小值是-$\frac{15}{24}$
故答案為：0；-$\frac{15}{24}$

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關系是解決問題的關鍵，屬中檔題．