Question

3．設(shè)log_ac，log_bc是方程x²-3x+1=0的兩根，求log${\;}_{\frac{a}}$c的值．

Answer 1

分析 由韋達定理和換底公式，得$\frac{lgc}{lga}+\frac{lgc}{lgb}$=3，$\frac{l{g}^{2}c}{lgalgb}$=1，從而推導(dǎo)出（lga-lgb）²=5lg²c，由此能求出log${\;}_{\frac{a}}$c的值．

解答 解：∵log_ac，log_bc是方程x²-3x+1=0的兩根，
∴l(xiāng)og_ac+log_bc=3，log_ac•log_bc=1，
∴由換底公式，得$\frac{lgc}{lga}+\frac{lgc}{lgb}$=3，$\frac{l{g}^{2}c}{lgalgb}$=1，
∴l(xiāng)g²c=lgalgb，$\frac{lgc（lga+lgb）}{lgalgb}$=3，
∴$\frac{lgc（lga+lgb）}{lg{\;}^{2}c}$=3，lga+lgb=3lgc
∴l(xiāng)g²a+2lgalgb+lg²b=9lg²c
兩邊同時減4lgalgb=4lg²c，得：lg²a-2lgalgb+lg²b=5lg²c
∴（lga-lgb）²=5lg²c，即lga-lgb=±$\sqrt{5}$lgc，∴l(xiāng)g（$\frac{a}$）=±$\sqrt{5}$lgc
∴l(xiāng)og${\;}_{\frac{a}}$c=$\frac{lgc}{lg（\frac{a}）}$=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查對數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、換底公式、平方和（差）公式和對數(shù)性質(zhì)及運算法則的合理運用．