Question

16．已知兩點A（1，-2），B（-4，-2），以下四條曲線：
①4x+2y=3，②x²+y²=3，
③x²+2y²=3，④x²-2y=3．
其中存在點P，使|PA|=|PB|的曲線有①②③④．（填寫正確的命題的序號）

Answer 1

分析 ①假設存在點P（x，$\frac{3-4x}{2}$），使|PA|=|PB|，則$\sqrt{（x-1）^{2}+（\frac{3-4x}{2}+2）^{2}}$=$\sqrt{（x+4）^{2}+（\frac{3-4x}{2}+2）^{2}}$，化簡解出即可．同理即可判斷出②③④是否滿足條件．

解答 解：①假設存在點P（x，$\frac{3-4x}{2}$），使|PA|=|PB|，則$\sqrt{（x-1）^{2}+（\frac{3-4x}{2}+2）^{2}}$=$\sqrt{（x+4）^{2}+（\frac{3-4x}{2}+2）^{2}}$，化為2x=-3，解得$x=-\frac{3}{2}$，y=$\frac{9}{2}$，因此存在點P$（-\frac{3}{2}，\frac{9}{2}）$．
同理可得：②存在點P$（-\frac{3}{2}，±\frac{\sqrt{3}}{2}）$，滿足條件；
③存在點P$（-\frac{3}{2}，±\frac{\sqrt{6}}{4}）$，滿足條件；
④存在點P$（-\frac{3}{2}，-\frac{3}{8}）$，滿足條件．
故答案為：①②③④．

點評 本題考查了兩點之間的距離公式的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．