Question

9．設(shè)復(fù)數(shù)z≠-1，則“|z|=1”是“$\frac{z-1}{z+1}$是純虛數(shù)”的（　�。�

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分又不必要條件

Answer 1

分析 根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合復(fù)數(shù)的有關(guān)概念進行判斷即可．

解答 解：若$\frac{z-1}{z+1}$是純虛數(shù)純虛數(shù)，
則設(shè)$\frac{z-1}{z+1}$=bi，（b≠0），z=x+yi，
則z-1=bi（z+1），
即x-1+yi=bi（x+1+yi）=-by+（x+1）bi，
則$\left\{\begin{array}{l}{x-1=-by}\\{（x+1）b=y}\end{array}\right.$，兩式相除消去b得（x-1）（x+1）=-y²，
即x²+y²=1，此時|z|=1，即必要性成立，
若z=1，滿足|z|=1，但此時$\frac{z-1}{z+1}$=0，不是純虛數(shù)，故充分性不成立，
故“|z|=1”是“$\frac{z-1}{z+1}$是純虛數(shù)”的必要不充分條件，
故選：B

點評 本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念以及充分條件和必要條件的判斷，利用復(fù)數(shù)的四則運算進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．