Question

4．四位同學(xué)在研究函數(shù)f（x）=$\frac{1{+x}^{2}}{1{-x}^{2}}$的性質(zhì)時(shí)，分別給出下面四個(gè)結(jié)論：
①f（x）為偶函數(shù)；
②f（2）+f（3）+f（4）…+f（10）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$）+…+f（$\frac{1}{10}$）=0；
③f（x）在區(qū)間（1，+∞）單調(diào)遞增
④f（x）的值域?yàn)椋?∞，0）∪[1，+∞）
你認(rèn)為上述四個(gè)結(jié)論中正確的有①②③．（填寫(xiě)正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析 先求f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠±1}，從而可看出f（x）為偶函數(shù)，并且可求出f（x）+$f（\frac{1}{x}）=0$，從而看出①②正確．可分離常數(shù)得到$f（x）=-1+\frac{2}{1-{x}^{2}}$，這樣可看出x＞1時(shí)，隨x增大，f（x）增大，從而得到f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，從而得出結(jié)論③正確，而由x²的范圍，可得出1-x²的范圍，從而得出$\frac{1}{1-{x}^{2}}$的范圍，進(jìn)而得出f（x）的范圍，即得出f（x）的值域，從而可判斷④是否正確，這樣即可寫(xiě)出結(jié)論正確的序號(hào)．

解答 解：①f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠±1}；
f（-x）=f（x）；
∴f（x）為偶函數(shù)，即該結(jié)論正確；
②$f（\frac{1}{x}）=\frac{1+\frac{1}{{x}^{2}}}{1-\frac{1}{{x}^{2}}}=\frac{1+{x}^{2}}{{x}^{2}-1}$；
∴$f（x）+f（\frac{1}{x}）=0$；
∴$f（2）+f（3）+f（4）+…+f（10）+f（\frac{1}{2}）$$+f（\frac{1}{3}）$$+f（\frac{1}{4}）+…+f（\frac{1}{10}）$=$[f（2）+f（\frac{1}{2}）]+[f（3）+f（\frac{1}{3}）]$$+[f（4）+f（\frac{1}{4}）]+…+[f（10）+f（\frac{1}{10}）]=0$；
∴該結(jié)論正確；
③$f（x）=\frac{-（1-{x}^{2}）+2}{1-{x}^{2}}=-1+\frac{2}{1-{x}^{2}}$；
∴x＞1時(shí)，x增大1-x²減小，$\frac{2}{1-{x}^{2}}$增大，f（x）增大，∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
∴該結(jié)論正確；
④x²≥0；
∴0＜1-x²≤1，或1-x²＜0；
∴$\frac{1}{1-{x}^{2}}≥1$，或$\frac{1}{1-{x}^{2}}＜0$；
∴f（x）≥1，或f（x）＜-1；
∴f（x）的值域?yàn)椋?∞，-1）∪[1，+∞）；
∴該結(jié)論錯(cuò)誤；
∴結(jié)論正確的為①②③．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)奇偶性的定義及判斷方法，已知f（x）求f[g（x）]的方法，分離常數(shù)法的運(yùn)用，增函數(shù)的定義，以及根據(jù)不等式的性質(zhì)求函數(shù)值域．