Question

4．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，直線2x-y+2=0 交拋物線C于A、B兩點，P是線段AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q．
（1）若直線AB過焦點F，求|AF|•|BF|的值；
（2）是否存在實數(shù)p，使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形？若存在，求出p的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）拋物線的焦點坐標(biāo)F（0，2），求出拋物線方程，與直線方程聯(lián)立，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）利用韋達定理求解|AF|•|BF|的值．
（2）通過拋物線x²=2py與直線y=2x+2聯(lián)立方程組，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理以及向量的數(shù)量積，化簡求解即可．

解答 解：（1）直線2x-y+2=0 交拋物線C于A、B兩點，x=0，可得y=2，所以F（0，2），p=4，
拋物線x²=8y與直線y=2x+2聯(lián)立方程組得：x²-16x-16=0，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=16，x₁x₂=-16，
|AF||BF|=（y₁+2）（y₂+2）=（2x₁+4）（2x₂+4）=80；（7分）
（2）假設(shè)存在，拋物線x²=2py與直線y=2x+2聯(lián)立方程組得：x²-4px-4p=0，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=4p，x₁x₂=-4p．
P是線段AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q，可得Q（2p，2p）．
$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=0$得：（x₁-2p）（x₂-2p）+（y₁-2p）（y₂-2p）=0，
（x₁-2p）（x₂-2p）+（2x₁+2-2p）（x₂+2-2p）=0，
$5{x_1}{x_2}+（4-6p）（{x_1}+{x_2}）+8{p^2}-8p+4=0$
代入得4p²+3p-1=0，
$p=\frac{1}{4}或p=-1（舍）$（15分）

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．