Question

5．已知圓C的圓心為原點(diǎn)O，且與直線$x+y+4\sqrt{3}=0$相切．
（1）求圓C的方程；
（2）點(diǎn)P在直線x=8上，過P點(diǎn)引圓C的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，試問，直線AB是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，請求出；若不過定點(diǎn)，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由圓C與直線相切，得到圓心到直線的距離d=r，故利用點(diǎn)到直線的距離公式求出d的值，即為圓C的半徑，又圓心為原點(diǎn)，寫出圓C的方程即可；
（2）由PA，PB為圓O的兩條切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA與AP垂直，OB與PB垂直，根據(jù)90°圓周角所對的弦為直徑可得A，B在以O(shè)P為直徑的圓上，設(shè)出P的坐標(biāo)為（8，b），由P和O的坐標(biāo)，利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出OP中點(diǎn)坐標(biāo)，即為以O(shè)P為直徑的圓的圓心坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出OP的長，即為半徑，寫出以O(shè)P為直徑的圓方程，整理后，由AB為兩圓的公共弦，兩圓方程相減消去平方項(xiàng)，得到弦AB所在直線的方程，可得出此直線方程過（3，0），得證．

解答 解：（1）依題意得：圓心（0，0）到直線$x+y+4\sqrt{3}=0$的距離d=r，
∴r=d=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{6}$，---（2分）
∴圓C的方程為x²+y²=24①；-----（4分）
（2）連接OA，OB，
∵PA，PB是圓C的兩條切線，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，------（5分）
∴A，B在以O(shè)P為直徑的圓上，-------（6分）
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，b），b∈R，
則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為（4，$\frac{2}$），------（8分）
∴以O(shè)P為直徑的圓方程為（x-4）+（y-$\frac{2}$）²=16+$\frac{^{2}}{4}$，②-----（10分）
∵AB為兩圓的公共弦，
∴①-②得：直線AB的方程為8x+by=24，b∈R，即8（x-3）+by=0，------（13分）
則直線AB恒過定點(diǎn)（3，0）．-------（14分）

點(diǎn)評 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，切線的性質(zhì)，圓周角定理，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，兩圓公共弦的性質(zhì)，以及恒過定點(diǎn)的直線方程，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，即d=r，熟練掌握此性質(zhì)是解本題第一問的關(guān)鍵．