Question

18．在股票市場(chǎng)上，投資者常參考股價(jià)（每一股的價(jià)格）的某條平滑均線的變化情況來(lái)決定買入或賣出股票．股民老張?jiān)谘芯抗善钡淖邉?shì)圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)一只股票的均線近期走得很有特點(diǎn)：如果按如圖所示的方式建立平面直角坐標(biāo)系xOy，則股價(jià)y（元）和時(shí)間x的關(guān)系在ABC段可近似地用解析式y(tǒng)=asin（ωx+φ）+b（0＜φ＜π）來(lái)描述，從C點(diǎn)走到今天的D點(diǎn)，是震蕩筑底階段，而今天出現(xiàn)了明顯的筑底結(jié)束的標(biāo)志，且D點(diǎn)和C點(diǎn)正好關(guān)于直線l：x=34對(duì)稱．老張預(yù)計(jì)這只股票未來(lái)的走勢(shì)如圖中虛線所示，這里DE段與ABC段關(guān)于直線l對(duì)稱，EF段是股價(jià)延續(xù)DE段的趨勢(shì)（規(guī)律）走到這波上升行情的最高點(diǎn)F．現(xiàn)在老張決定取點(diǎn)A（0，22），點(diǎn)B（12，19），點(diǎn)D（44，16）來(lái)確定解析式中的常數(shù)a，b，ω，φ，并且求得ω=$\frac{π}{72}$
（1）請(qǐng)你幫老張算出a，b，φ，并回答股價(jià)什么時(shí)候見(jiàn)頂（即求F點(diǎn)的橫坐標(biāo)）
（2）老張如能在今天以D點(diǎn)處的價(jià)格買入該股票3000股，到見(jiàn)頂處F點(diǎn)的價(jià)格全部賣出，不計(jì)其它費(fèi)用，這次操作他能賺多少元？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)C，D關(guān)于直線l對(duì)稱寫出C點(diǎn)坐標(biāo)，再把A、B、C的坐標(biāo)代入解析式，得到關(guān)于a，b，φ的方程組，解此方程組即得：a=6，b=19，φ=$\frac{5π}{6}$，．于是可寫出ABC段的解析式，由對(duì)稱性得，也可得到DEF段的解析式，最后由解析式得出何時(shí)y值最大，從而得到當(dāng)x=92時(shí)，股價(jià)見(jiàn)頂．
（2）由（1）可知，y_F=6+19=25，故可計(jì)算出這次操作老王能賺多少元．

解答 解：（1）點(diǎn)C、D關(guān)于直線L對(duì)稱，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2×34-44，16）即（24，16），
把A、B和C的坐標(biāo)代入解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{22=asinφ+b}\\{19=asin（\frac{π}{6}+φ）+b}\\{16=asin（\frac{π}{3}+φ）+b}\end{array}\right.$    ①
∴a[sin（$\frac{π}{6}$+φ）-sinφ]=-3，a[sin（$\frac{π}{3}$+φ）-sinφ]=-6
∴2sin（$\frac{π}{6}$+φ）-2sinφ=sin（$\frac{π}{3}$+φ）-sinφ，
∴cosφ+$\sqrt{3}$sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosφ+$\frac{3}{2}$sinφ，
∴（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）cosφ=（$\frac{3}{2}$-$\sqrt{3}$）sinφ=$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1）sinφ，
∴tanφ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
0＜φ＜π，
∴φ=π-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
代入①求得b=19，a=6，
∴a=6，b=19，φ=$\frac{5π}{6}$，
于是ABC段的解析式為y=6sin（$\frac{π}{72}$x+$\frac{5π}{6}$）+19，由對(duì)稱=6性得
DEF段的解析式為y=6sin[$\frac{π}{72}$（68-x）+$\frac{5π}{6}$]+19，
∴$\frac{π}{72}$（68-x_F）+$\frac{5π}{6}$=$\frac{π}{2}$，\，解得x_F=92，
∴當(dāng)x=92時(shí)，股價(jià)見(jiàn)頂．
（2）由（1）可知，y_F=6+19=25，故這次操作老張能賺3000×（25-16）=27000（元）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解答關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用，屬于中檔題．