Question

10．已知函數(shù)f（x）=x•e^x，若關于x的方程$[{f（x）+\frac{1}{2e}}]•[{f（x）-λ}]=0$有僅有3個不同的實數(shù)解，則實數(shù)λ的取值范圍是[0，+∞）∪{-$\frac{1}{e}$}．

Answer 1

分析 令f（x）=t，研究f（x）的單調性和極值，判斷f（x）=t的解的情況，從而確定關于t的方程（t+$\frac{1}{2e}$）（t-λ）=0的解的分布情況，進而得出λ的范圍．

解答 解：f′（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x，
∴當x＜-1時，f′（x）＜0，當x＞-1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，-1）上是減函數(shù)，在（-1，+∞）上為增函數(shù)，
∴當x=-1時，f（x）取得極小值f（-1）=-$\frac{1}{e}$．
又當x＜0時，f（x）＜0，f（0）=0，
作出y=f（x）的大致函數(shù)函數(shù)圖象如圖所示：

設f（x）=t，
則當t＜-$\frac{1}{e}$時，方程f（x）=t無解；
當t=-$\frac{1}{e}$或t≥0時，方程f（x）=t只有一解；
當-$\frac{1}{e}$＜t＜0時，方程f（x）=t有兩解．
∵$[{f（x）+\frac{1}{2e}}]•[{f（x）-λ}]=0$有僅有3個不同的實數(shù)解，
∴關于t的方程（t+$\frac{1}{2e}$）（t-λ）=0在（-$\frac{1}{e}$，0）和[0，+∞）∪{-$\frac{1}{e}$}上各有一解．
∵方程（t+$\frac{1}{2e}$）（t-λ）=0的解為t₁=-$\frac{1}{2e}$，t₂=λ．且-$\frac{1}{2e}$∈（-$\frac{1}{e}$，0），
∴λ∈[0，+∞）∪{-$\frac{1}{e}$}．
故答案為：[0，+∞）∪{-$\frac{1}{e}$}．

點評 本題考查了函數(shù)零點個數(shù)與函數(shù)單調性，極值的關系，函數(shù)單調性的判斷，屬于中檔題．