Question

15．已知a是方程xlgx=3的解，b是方程x•10^x=3的解，則a•b=（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得出a、b分別是函數(shù)y=$\frac{3}{x}$和y=lgx、y=10^x圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
再利用函數(shù)y=10^x和y=lgx互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，得出a•b的值．

解答 解：∵a是方程xlgx=3的解，b是方程x•10^x=3的解，
∴a是函數(shù)y=$\frac{3}{x}$和y=lgx交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，
b是函數(shù)y=$\frac{3}{x}$和y=10^x的圖象的交點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；
又函數(shù)y=10^x和y=lgx互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，
∴M、N兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，
即線(xiàn)段MN的中點(diǎn)G在直線(xiàn)y=x上；
又點(diǎn)M（a，$\frac{3}{a}$），N（b，$\frac{3}$），G（$\frac{a+b}{2}$，$\frac{\frac{3}{a}+\frac{3}}{2}$），
∴$\frac{a+b}{2}$=$\frac{\frac{3}{a}+\frac{3}}{2}$，
整理，得a•b=3．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了互為反函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了方程與函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．