Question

17．已知函數(shù)f（x）=|x-1|-2|x+1|．
（I）求不等式f（x）≤-1的解集；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≥3^a-1有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：通過討論x的范圍，解出各個(gè)范圍內(nèi)的x的范圍，求出不等式的解集即可，法二：根據(jù)函數(shù)圖象求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）法一：通過討論x的范圍，解出各個(gè)范圍內(nèi)的x的范圍，求出不等式的最大值，問題轉(zhuǎn)化為：2≥3^a-1有解，法二：根據(jù)函數(shù)圖象求出不等式的解集即可．

解答 解：（Ⅰ）法一：x＜-1時(shí)，不等式化為x+3≤-1，解得：x≤-4，
-1≤x≤1時(shí)，不等式化為-3x-1≤-1，即x≥0，∴0≤x≤1，
x＞1時(shí)，不等式化為-x-3≤-1，即x≥-2，∴x＞1，
∴不等式的解集是{x|x≤-4或x≥0}；
法二：f（x）=|x-1|-2|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{x+3，x＜-1}\\{-3x-1，-1≤x≤1}\\{-x-3，x＞1}\end{array}\right.$，
如圖
由x+3=-1，得x=-4，
由-3x-1=-1，得x=0，
∴不等式的解集是{x|x≤-4或x≥0}；
（Ⅱ）法一：x＜-1時(shí)，f（x）=x+3∈（-∞，2），
-1≤x≤1時(shí)，f（x）=-3x-1∈[-4，2]，
x＞1時(shí)，f（x）=-x-3∈（-∞，-4），
∴x=-1時(shí)，f（x）_max=2，
要使關(guān)于x的不等式f（x）≥3^a-1有解，
只需2≥3^a-1有解，解得：a≤1，
故a的范圍是（-∞，1]；
法二：由f（x）的圖象可知x=-1時(shí)，f（x）_max=2，
要使關(guān)于x的不等式f（x）≥3^a-1有解，
只需2≥3^a-1有解，解得：a≤1，
故a的范圍是（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．