Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，定義：$\overrightarrow{{c}_{λ}}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ ）$\overrightarrow$，其中0≤λ≤1．若$\overrightarrow{{c}_{λ}}$•$\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}$=$\frac{1}{2}$，則|$\overrightarrow{{c}_{λ}}$|的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． 1
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 畫出草圖，通過$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$、|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2可得|$\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}$|=1，利用$\overrightarrow{{c}_{λ}}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ ）$\overrightarrow$可得B、P、D、C四點共線，結(jié)合$\frac{1}{2}$=|$\overrightarrow{{c}_{λ}}$|cosα，可得當(dāng)B、P兩點重合時|$\overrightarrow{{c}_{λ}}$|最大，計算即可．

解答 解：如圖，記$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}$，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{{c}_{λ}}$，＜$\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}$，$\overrightarrow{{c}_{λ}}$＞=α．
∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，∴|$\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}$|=1，
∵$\overrightarrow{{c}_{λ}}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ ）$\overrightarrow$，
∴B、P、D、C四點共線，
∵$\frac{1}{2}$=$\overrightarrow{{c}_{λ}}$•$\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}$=|$\overrightarrow{{c}_{λ}}$|•|$\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}$|cosα=1•|$\overrightarrow{{c}_{λ}}$|cosα，
∴$\overrightarrow{{c}_{λ}}$在$\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}$上的投影為$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)B、P兩點重合時，|$\overrightarrow{{c}_{λ}}$|最大，
此時α=$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{{c}_{λ}}$|=|$\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}$|=1，
故選：C．

點評 本題考查平面向量的幾何意義，涉及到向量的加、減法運算法則，三點共線的向量表示，向量的投影等知識，注意解題方法的積累，屬于難題．