Question

【題目】如圖，點(diǎn)、，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交線(xiàn)段于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn).且直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方）.

（1）求曲線(xiàn)的方程；

（2）試判斷直線(xiàn)與曲線(xiàn)的另一交點(diǎn)是否與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)？

Answer 1

【答案】（1）；（2）是.

【解析】

（1）如圖所示，，點(diǎn)Q的軌跡表示的曲線(xiàn)為橢圓，M，N為焦點(diǎn)，由此可求方程；

（2）設(shè)，，將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立化為：，假設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則.下面證明D，A, C三點(diǎn)共線(xiàn).即證明：, 即證明：利用根與系數(shù)的關(guān)系證明: 0即可.

（1）如圖所示，

有

∴的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其方程為

則,

∴，∴；

（2）聯(lián)立得

設(shè)，

恒成立，，

假設(shè)與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則，下證三點(diǎn)共線(xiàn)

即證，即證

∵，

∴

∴與共線(xiàn)，

∴與的另一交點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)