Question

2．設(shè)f（x）=$\frac{1}{{{3^x}+\sqrt{3}}}$
（Ⅰ）計算：f（0）+f（1），f（-1）+f（2），f（-2）+f（3）的值；
（Ⅱ）猜想f（x）具備的一個性質(zhì)，并證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中f（x）=$\frac{1}{{{3^x}+\sqrt{3}}}$，將對應(yīng)的自變量代入，可逐一運算出f（0）+f（1），f（-1）+f（2），f（-2）+f（3）的值；
（Ⅱ）由（I）中結(jié)論可猜想：當(dāng)x₁+x₂=1時，$f（{x_1}）+f（{x_2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，代入函數(shù)解析式，并利用指數(shù)的運算性質(zhì)化簡，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{1}{{{3^x}+\sqrt{3}}}$，
∴$f（0）+f（1）=\frac{1}{{{3^0}+\sqrt{3}}}+\frac{1}{{{3^1}+\sqrt{3}}}=\frac{1}{{1+\sqrt{3}}}+\frac{1}{{3+\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}+\frac{{3-\sqrt{3}}}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（2分）
同理，可得$f（-1）+f（2）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}，f（-2）+f（3）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（4分）
（Ⅱ）猜想：當(dāng)x₁+x₂=1時，$f（{x_1}）+f（{x_2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（6分）
證明：設(shè)x₁+x₂=1，
$f（{x_1}）+f（{x_2}）=\frac{1}{{{3^{x_1}}+\sqrt{3}}}+\frac{1}{{{3^{x_2}}+\sqrt{3}}}$
=$\frac{（{3}^{{x}_{2}}+\sqrt{3}）（{3}^{{x}_{1}}+\sqrt{3}）}{（{3}^{{x}_{1}}+\sqrt{3}）（{3}^{{x}_{2}}+\sqrt{3}）}$
=$\frac{{3}^{{x}_{1}}+{3}^{{x}_{2}}+2\sqrt{3}}{{3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}+\sqrt{3}（{3}^{{x}_{1}}+{3}^{{x}_{2}}）+3}$
=$\frac{{3}^{{x}_{1}}+{3}^{{x}_{2}}+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}（{3}^{{x}_{1}}+{3}^{{x}_{2}}+2\sqrt{3}）}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴x₁+x₂=1時，$f（{x_1}）+f（{x_2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的值，利用指數(shù)的運算性質(zhì)化簡，難度不大，屬于中檔題．