Question

2．已知函數(shù)f（x）=a${\;}^{1+\sqrt{1-{x}^{2}}}$+b（a＞0且a≠1）最大值為4，最小值為2，求實(shí)數(shù)a與b的值．

Answer 1

分析 通過題意易知1+$\sqrt{1-{x}^{2}}$∈[1，2]，分0＜a＜1、a＞1兩種情況討論即可．

解答 解：依題意可知$\sqrt{1-{x}^{2}}$∈[0，1]，
∴1+$\sqrt{1-{x}^{2}}$∈[1，2]，
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=a^x為減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=4}\\{{a}^{2}+b=2}\end{array}\right.$，顯然無解；
②當(dāng)a＞1時(shí)，y=a^x為增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{{a}^{2}+b=4}\end{array}\right.$，
兩式相減得：a²-a-2=0，
∴（a-2）（a+1）=0，
解得：a=2或a=-1（舍），
∴b=2-a=2-2=0；
綜上所述，a=2，b=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．